Para muchos rompecabezas matem ticos, hay varios enfoques para resolver. Uno de estos acertijos es el problema de las tres fracciones no democr ticas correctas, cuya suma es igual a un n mero entero.
Para empezar, entendamos el concepto de "fracciones no democr ticas correctas". Una fracci n correcta es una fracci n cuyo numerador es menor que el denominador. Una fracci n no democratizada es una fracci n en la que el numerador y el denominador no tienen divisores comunes, excepto uno.
Ahora veamos ejemplos de tres fracciones regulares no democr ticas cuya suma forma un n mero entero:
Conclusi n: hay varias combinaciones de tres fracciones regulares no democr ticas, cuya suma forma un n mero entero. Los anteriores son solo algunos ejemplos de tales combinaciones.
- Requisitos para fracciones no democr ticas que forman un n mero entero
- Ejemplo de la primera variante de la fracci n no Democr tica
- Ejemplo de la segunda variante de la fracci n no Democr tica:
- Ejemplo de la tercera variante de la fracci n no Democr tica
- Descripci n de la suma de tres fracciones no democr ticas que forman un n mero entero
- Prueba de la exactitud de las fracciones seleccionadas y su suma
- Pregunta-respuesta
- Cu les son las variantes de tales fracciones?
- Se pueden dar otros ejemplos de tres fracciones?
- Qu requisitos deben cumplirse para que la suma de tres fracciones sea un n mero entero?
- C mo encontrar todos esos tres fracciones?
- Es posible encontrar una f rmula general para tales triples de fracciones?
- Hay alg n l mite en los numeradores y denominadores de fracciones?
Requisitos para fracciones no democr ticas que forman un n mero entero
Para que tres fracciones no democr ticas formen una suma igual a un n mero entero, se deben tener en cuenta los siguientes requisitos:
- El numerador y el denominador de cada fracci n deben ser n meros enteros.
- Las fracciones deben ser no democr ticas, es decir, su numerador y denominador no deben tener divisores comunes, excepto 1. Esto significa que las fracciones no se pueden escribir como una fracci n simple que se puede reducir.
- La suma de tres fracciones debe ser igual a un n mero entero. Para hacer esto, es necesario que los denominadores de las fracciones sean iguales entre s o que sean m ltiplos. Por ejemplo, si una fracci n tiene un denominador de 3, entonces los denominadores restantes deben ser 3 o m ltiplos de 3.
El cumplimiento de estos requisitos permitir obtener tres fracciones no democr ticas, cuya suma formar un n mero entero.
Ejemplo de la primera variante de la fracci n no Democr tica
La primera variante de una fracci n no Democr tica, cuya suma con otras fracciones forma un n mero entero, puede representarse de la siguiente manera:
- Elegiremos el numerador y el denominador de la fracci n de tal manera que sean mutuamente simples, es decir, no tengan divisores comunes, excepto 1. Por ejemplo, el numerador es 2 y el denominador es 3.
- Calculemos la suma de esta fracci n con otras fracciones. Por ejemplo, la fracci n 2/3 se suma a la fracci n 1/6.
- Compruebe que la suma de fracciones forma un n mero entero. En este ejemplo, 2/3 + 1/6 = 4/6 = 2/3 = 1.
Por lo tanto, la primera variante de una fracci n no Democr tica, cuya suma con otras fracciones forma un n mero entero, es 2/3.
Ejemplo de la segunda variante de la fracci n no Democr tica:
Para formar un n mero entero a partir de la suma de tres fracciones regulares no democratizadas se puede utilizar el siguiente ejemplo:
- Fracci n 1/2
- Fracci n 1/4
- Fracci n 1/4
Sumemos estas fracciones:
| 1/2 + 1/4 + 1/4 = | 2/4 + 1/4 + 1/4 = | 4/4 = | 1 |
Por lo tanto, la suma de las fracciones dadas es el n mero entero 1.
Ejemplo de la tercera variante de la fracci n no Democr tica
La variante de tres fracciones regulares no democr ticas, cuya suma forma un n mero entero, presentada a continuaci n, ilustra una de las posibilidades para tales fracciones:
Fracci n 1: 2/3 Fracci n 2: 3/4 Fracci n 3: 1/12
Sumando estas fracciones obtenemos:
| 2/3 + 3/4 + 1/12 = 8/12 + 9/12 + 1/12 = 18/12 = 3/2 = 1.5 |
Por lo tanto, la suma de las tres fracciones anteriores es 1.5, que es un n mero entero.
Descripci n de la suma de tres fracciones no democr ticas que forman un n mero entero
La suma de tres fracciones no democr ticas que forman un n mero entero es un problema matem tico interesante. Antes de pasar a la descripci n de la soluci n de este problema, es necesario recordar los conceptos b sicos.
Una fracci n es la relaci n de dos n meros: el numerador y el denominador. Una fracci n no democratizada es una fracci n en la que el numerador y el denominador no tienen divisores comunes, excepto uno.
Para encontrar tres fracciones no democr ticas cuya suma forma un n mero entero, se deben seguir los siguientes pasos:
- Elija tres n meros naturales diferentes. Llam moslos a, b y C.
- Poner cada n mero en el numerador de una de las fracciones, y los otros dos n meros en los denominadores de las otras fracciones.
- Comprobar si las fracciones resultantes son irreductibles. De lo contrario, es posible cambiar los n meros en numeradores y denominadores de tal manera que las fracciones sean no democr ticas.
- Calcular la suma de estas tres fracciones.
- Si la suma es igual a un n mero entero, entonces el problema est resuelto.
Ejemplo de esta suma de fracciones: 1/2 + 2/3 + 3/7 = 1. En este caso, los n meros 2, 3 y 7 se toman como numeradores, y los n meros 3, 7 y 2 como denominadores de sus respectivas fracciones.
En general, hay muchas variantes de tres fracciones no democr ticas, cuya suma forma un n mero entero. La tarea puede ser un rompecabezas interesante tanto para estudiantes como para adultos, lo que le permite desarrollar el pensamiento l gico y las habilidades matem ticas.
Prueba de la exactitud de las fracciones seleccionadas y su suma
En el problema, se seleccionan tres fracciones no democr ticas, cuya suma forma un n mero entero. Probemos que esta afirmaci n es correcta.
Supongamos que tenemos tres fracciones de este tipo: $\frac{a}{B}$, $\frac{C}{D}$ y $\frac{e}{f}$, donde $a$, $B$, $c$, $d$, $e$ y $f$ son enteros. Para que la suma de estas fracciones sea un n mero entero, es necesario y suficiente que se cumpla la siguiente igualdad:
$ \ frac{a}{b} + \ frac{C}{d} + \ frac{e}{f} = n$, donde $n$ es un entero.
Como prueba, podemos utilizar el m todo de fracciones con un denominador com n. Para ello, encontraremos un denominador com n para estas tres fracciones.
El denominador com n para tres fracciones se puede encontrar como el NOK (el m ltiplo com n m s peque o) de sus denominadores. La forma m s conveniente de encontrar los con es factorizar los denominadores en factores primos y seleccionar el mayor grado de cada factor primo.
Supongamos que el denominador com n para tres fracciones es $bdf$, entonces podemos llevar cada fracci n a una forma equivalente multiplicando el numerador y el denominador de cada fracci n por la cantidad correspondiente:
- $\frac{a}{b} \times \frac{df}{df} = \frac{adf}{bdf}$
- $\frac{c}{d} \times \frac{bf}{bf} = \frac{cbf}{bdf}$
- $\frac{e}{f} \times \frac{bd}{bd} = \frac{ebd}{bdf}$
Ahora podemos sumar las fracciones resultantes, ya que tienen el mismo denominador:
$\frac{adf}{bdf} + \frac{cbf}{bdf} + \frac{ebd}{bdf} = \frac{adf + cbf + ebd}{bdf}$
Si $adf + cbf + ebd$ es un m ltiplo del denominador com n $bdf$, entonces su suma ser un n mero entero.
Por lo tanto, si selecciona tales valores para $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ y $f$, de modo que $adf + cbf + ebd$ sea un m ltiplo de $bdf$, entonces la suma de estas tres fracciones ser un n mero entero.
Con esto se completa la prueba.
Pregunta-respuesta
Cu les son las variantes de tales fracciones?
Hay varias opciones, por ejemplo: 1/2, 1/3 y 1/6; 1/4, 1/4 y 1/2; 1/5, 2/5 y 2/5. Las respuestas pueden ser infinitas.
Se pueden dar otros ejemplos de tres fracciones?
S , claro. Por ejemplo: 1/7, 1/14 y 12/14; 1/8, 1/8 y 3/4; 1/9, 1/9 y 7/9.
Qu requisitos deben cumplirse para que la suma de tres fracciones sea un n mero entero?
La suma de tres fracciones ser un n mero entero solo cuando el numerador de la tercera fracci n sea igual a la suma de los numeradores de las dos fracciones anteriores, y el denominador de la tercera fracci n sea igual al denominador de las fracciones anteriores.
C mo encontrar todos esos tres fracciones?
Para encontrar todos los triples de fracciones, cuya suma forma un n mero entero, se puede utilizar la iteraci n de todas las combinaciones posibles de fracciones con numeradores y denominadores naturales. Luego debe verificar la condici n de igualdad de la suma de los numeradores de las dos fracciones de la tercera fracci n y la suma de los denominadores de las dos fracciones de la tercera fracci n.
Es posible encontrar una f rmula general para tales triples de fracciones?
A n no se ha encontrado una f rmula general para todos los triples de fracciones cuya suma forma un n mero entero. Probablemente sea posible desarrollar un algoritmo para encontrar estos triples, pero compilar una f rmula general puede ser un desaf o.
Hay alg n l mite en los numeradores y denominadores de fracciones?
No hay restricciones en los numeradores y denominadores de fracciones. Pueden ser cualquier n mero natural, pero se requiere que las fracciones sean no democr ticas.