Para probar esta afirmaci n, utilizamos el m todo de inducci n matem tica. Inicialmente, consideremos el caso base donde n es 0. En este caso, n^2 + 8N = 0 + 0 = 0, y 0 es un m ltiplo de 16. Por lo tanto, el caso base est probado.
A continuaci n, suponemos que la afirmaci n es v lida para alg n n mero k, es decir, k^2 + 8K es un m ltiplo de 16. Nuestra tarea es demostrar que la afirmaci n tambi n es v lida para el n mero k + 4.
Al considerar el n mero (k + 4), podemos escribirlo como (k + 4)^2 + 8(k + 4). Abriendo los par ntesis, obtenemos k^2 + 8K + 16 + 8K + 32. Combinando tales t rminos, obtenemos k^2 + 16k + 48.
Ahora consideremos la expresi n (k^2 + 8k) + (8k + 48). De nuestra suposici n, el primer t rmino es un m ltiplo de 16, ya que k^2 + 8K es un m ltiplo de 16. Y el segundo t rmino, 8k + 48, es un m ltiplo de 16, ya que ambos t rminos son divisibles por 8. Por lo tanto, su suma (k^2 + 16K + 48) tambi n es un m ltiplo de 16.
Por lo tanto, hemos demostrado que si el n mero n es m ltiplo de 4, entonces n^2 + 8N tambi n es m ltiplo de 16. Prueba de inducci n completa.
- M ltiplos de 4
- Declaraci n original
- Evidencia
- Multiplicidad n^2 + 8N n mero 16
- Pregunta-respuesta
- C mo probar que un n mero m ltiplo de 4 tambi n ser m ltiplo de 16?
- Es posible usar otra forma para probar que n^2 + 8N es un m ltiplo de 16 para n meros m ltiplos de 4?
M ltiplos de 4
Para demostrar que si el n mero n es m ltiplo de 4, entonces n^2 + 8N tambi n es m ltiplo de 16, se puede usar la inducci n matem tica.
La prueba de inducci n consta de dos pasos:
- Paso b sico: probar la afirmaci n para el valor inicial de n.
- Paso de inducci n: suponemos que la afirmaci n es cierta para alg n n y la probamos para n + 1.
Paso b sico. Sea n = 4k, donde k es un entero. Entonces h^2 + 8N = (4K)^2 + 8(4K) = 16K^2 + 32K = 16(K^2 + 2K).
Como se puede ver, la expresi n resultante es un m ltiplo de 16, ya que es el producto del n mero 16 por entero (K^2 + 2K).
Paso de inducci n. Deje que la afirmaci n sea verdadera para alg n n = 4K.Demu strela para n + 1 = 4K + 1.
(n + 1)^2 + 8(n + 1) = (4k + 1)^2 + 8(4k + 1) = 16k^2 + 8k + 1 + 32k + 8 = 16k^2 + 40k + 9 = 16(k^2 + 2.5k) + 9.
La expresi n resultante tambi n es un m ltiplo de 16, ya que es el producto del n mero 16 por entero (K^2 + 2.5 k) + 9.
Por lo tanto, hemos demostrado que si el n mero n es m ltiplo de 4, entonces n^2 + 8N tambi n es m ltiplo de 16, utilizando inducci n.
Declaraci n original
Probemos que si el n mero n es m ltiplo de 4, entonces n^2 + 8N es m ltiplo de 16.
Para probar esta afirmaci n, usemos el m todo de inducci n matem tica.
- Base de inducci n: compruebe la afirmaci n para n=4.
Con n = 4 obtenemos:
| n^2 + 8n = 4^2 + 8 * 4 = 16 + 32 = 48. |
Dado que 48 es un m ltiplo de 16 (como resultado de dividir por 16 obtenemos un entero), la base de inducci n es correcta.
- Suposici n de inducci n: supongamos que la afirmaci n es verdadera para n = k, donde k es un n mero arbitrario m ltiplo de 4.
De la suposici n de inducci n obtenemos:
| k^2 + 8k = 16m, |
donde m es un n mero entero.
- Paso de inducci n: mostraremos que la afirmaci n es verdadera para n = k + 4.
Con n = k + 4 obtenemos:
| (k+4)^2 + 8(k+4) = k^2 + 8k + 16 + 8k + 32 = (k^2 + 8k) + (16 + 32) = 16m + 48 = 16(m + 3). |
Por lo tanto, resulta que la expresi n n^2 + 8N es 16(m + 3), donde m + 3 es un n mero entero. Es decir, el n mero n^2 + 8N es m ltiplo de 16.
Por lo tanto, seg n el principio de inducci n matem tica, se demuestra que si el n mero n es m ltiplo de 4, entonces n^2 + 8N es m ltiplo de 16.
Evidencia
Para probar esta afirmaci n, usemos el m todo matem tico de la prueba "m todo de inducci n matem tica".
Paso 1: Verifique el caso base. Si el n mero n es 0, entonces n^2 + 8n es 0. Como 0 es divisible por 16 sin resto, la afirmaci n se realiza para el caso base.
Paso 2: Conjetura. Supongamos que la afirmaci n es verdadera para alg n entero k.
Paso 3: Prueba de Servicio. Probemos que la afirmaci n es verdadera para el n mero k + 1.
Tenemos:
- n = k
- n^2 + 8n = k^2 + 8k
Desde aqu :
- n + 1 = k + 1
- (n + 1)^2 + 8(n + 1) = (k + 1)^2 + 8(k + 1)
Abrimos los par ntesis:
- (n + 1)^2 + 8(n + 1) = n^2 + 2n + 1 + 8n + 8
- (n + 1)^2 + 8(n + 1) = n^2 + 10n + 9
Analicemos la expresi n (n + 1)^2 + 8 (n + 1) en el m dulo 16:
| n | (n + 1)^2 + 8(n + 1) | (n + 1)^2 + 8(n + 1) (mod 16) |
|---|---|---|
| 0 | 9 | 9 |
| 1 | 20 | 4 |
| 2 | 33 | 1 |
| 3 | 48 | 0 |
| 4 | 65 | 1 |
| 5 | 84 | 4 |
| 6 | 105 | 9 |
De la tabla se puede ver que la expresi n(n + 1)^2 + 8 (n + 1) es divisible por 16 sin resto para cualquier valor de n m ltiplo de 4. Entonces, si el n mero n es m ltiplo de 4, entonces n^2 + 8N tambi n ser m ltiplo de 16.
Multiplicidad n^2 + 8N n mero 16
Para probar que si el n mero n es m ltiplo de 4, entonces n^2 + 8N es m ltiplo de 16, considere dos casos:
- Si n es m ltiplo de 4, entonces hay un entero k tal que n = 4K.
- Evidencia:
- n = 4k
- n^2 + 8n = (4k)^2 + 8(4k)
- n^2 + 8n = 16k^2 + 32k
- n^2 + 8n = 16(k^2 + 2k)
- Por lo tanto, n^2 + 8N es divisible por 16 y, por lo tanto, un m ltiplo del n mero 16.
Por lo tanto, se demuestra que si el n mero n es m ltiplo de 4, entonces n^2 + 8N es m ltiplo de 16.
Pregunta-respuesta
C mo probar que un n mero m ltiplo de 4 tambi n ser m ltiplo de 16?
Para probar que un n mero n m ltiplo de 4 tambi n ser m ltiplo de 16, debe considerar la expresi n n^2 + 8N. Si el n mero n es m ltiplo de 4, entonces puede escribirlo como n = 4K, donde k es un entero. Sustituimos este valor en la expresi n: (4K)^2 + 8(4K). Al abrir los par ntesis obtenemos 16K^2 + 32K. tenga en cuenta que cada t rmino en esta suma es divisible por 16 sin resto. Por lo tanto, la expresi n n^2 + 8N es igual a 16K^2 + 32K. Dado que cada t rmino en esta suma es un m ltiplo de 16, entonces la suma en s es un m ltiplo de 16. Por lo tanto, si el n mero n es m ltiplo de 4, entonces n^2 + 8N ser m ltiplo de 16.
Es posible usar otra forma para probar que n^2 + 8N es un m ltiplo de 16 para n meros m ltiplos de 4?
S , se puede usar otro m todo de prueba. Podemos usar el m todo de inducci n matem tica. Para hacer esto, primero probemos la base de inducci n: si n = 4, entonces n^2 + 8n = 4^2 + 8*4 = 64, que es un m ltiplo de 16. Ahora supongamos que la afirmaci n es cierta para alg n n mero k: k^2 + 8K m ltiplo de 16. Probemos que entonces es cierto para (k + 4). Abrimos los par ntesis en la expresi n(k + 4)^2 + 8 (k + 4): (k + 4)^2 + 8(k + 4) = k^2 + 8k + 16 + 8k + 32 = (k^2 + 8k) + 48. Dado que k^2 + 8K es un m ltiplo de 16 por el supuesto de inducci n, entonces (k + 4)^2 + 8(k + 4) ser un m ltiplo de 16. Por lo tanto, hemos demostrado que si el n mero n es m ltiplo de 4, entonces n^2 + 8N es m ltiplo de 16.