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Cómo Construir Un Círculo De 3 Puntos: Pasos Y Algoritmos

Construir un c rculo a partir de tres puntos dados es una tarea que a menudo se encuentra cuando se trabaja con geometr a. Tal c rculo se llama "c rculo descrito" y es un c rculo que pasa a trav s de los tres puntos.

La construcci n de un c rculo descrito puede ser til en una variedad de campos, incluyendo la topograf a, la cartograf a, los gr ficos por computadora y la teor a de algoritmos. Para resolver este problema, podemos usar varios pasos y algoritmos.

El primer paso para construir un c rculo a lo largo de tres puntos es encontrar el medio de los segmentos que conectan esos puntos. A continuaci n, podemos trazar una perpendicular a cada uno de estos segmentos en el punto medio y exactamente la misma perpendicular en el punto del otro segmento.

  1. Paso 1: Definir la tarea
  2. Paso 2: Importar las bibliotecas necesarias
  3. Medida 3: Crear una lista de coordenadas de puntos
  4. Paso 4: Construyendo rectas a trav s de dos puntos
  5. Paso 5: Encontrar el punto medio del tramo
  6. Paso 6: Encontrar el perpendicular
  7. Paso 7: Encontrar el centro del c rculo
  8. Paso 8: C lculo del Radio del c rculo
  9. Pregunta-respuesta
  10. Es posible construir un c rculo de 3 puntos si se encuentran en una l nea recta?
  11. C mo puedo verificar la pertenencia de un punto de un c rculo construido por 3 puntos?

Paso 1: Definir la tarea

Antes de pasar a la construcci n de un c rculo de 3 puntos, es necesario determinar exactamente lo que se necesita hacer y qu informaci n ya tenemos.

El desaf o es construir un c rculo que pase a trav s de tres puntos dados en el plano. Tenemos las coordenadas de estos tres puntos, que denotaremos como A(x1, Y1), B(x2, Y2) y C (x3, y3).

El algoritmo para resolver este problema se basar en el concepto del centro del c rculo y el Radio.

El centro de un c rculo es un punto en el plano que est a la misma distancia de los tres puntos dados. Este es un punto com n por el que pasa un c rculo.

El Radio de un c rculo es la distancia desde el centro de un c rculo a cualquier punto de un c rculo.

Entonces, nuestra tarea ser determinar las coordenadas del centro del c rculo (x0, Y0) y su Radio R.

Antes de pasar al paso 2, debe verificar que los puntos A, B y C no est n en la misma l nea recta. Si se encuentran en una l nea recta, entonces la circunferencia que pasa a trav s de ellos es imposible.

Paso 2: Importar las bibliotecas necesarias

Para construir un c rculo de 3 puntos, necesitaremos bibliotecas especializadas para trabajar con objetos geom tricos y c lculos. En este algoritmo usaremos las siguientes bibliotecas:

  • Numpy-biblioteca para trabajar con matrices y realizar operaciones matem ticas;
  • Matplotlib-biblioteca para la visualizaci n de datos, incluyendo gr ficos y gr ficos;
  • Scipy es una biblioteca para computaci n cient fica que contiene varias funciones para trabajar con geometr a y optimizaci n.

Para importar estas bibliotecas, debe ejecutar los siguientes comandos:

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.optimize import minimize

El primer comando importa la biblioteca NumPy y le da un alias np para acceder a ella m s c modamente. El segundo comando importa la biblioteca Matplotlib y le da un alias plt. El tercer comando importa la funci n minimize de la biblioteca Scipy para optimizar la funci n.

Paso 3: Crear una lista de coordenadas de puntos

Una vez que hayamos identificado las coordenadas de los tres puntos, necesitamos crear una lista para almacenar esas coordenadas.

La lista de puntos se puede representar como una tabla, donde cada punto est representado por una fila con sus coordenadas. Cada columna de la tabla contendr una coordenada. Puede utilizar los siguientes pasos para crear una lista::

  1. Crear una lista vac a de puntos.
  2. Agregue el primer punto a la lista usando sus coordenadas.
  3. A adir un segundo punto a la lista.
  4. A adir un tercer punto a la lista.

Al final, tendremos una lista de tres puntos, cada uno representado por sus propias coordenadas.

Este paso nos permitir trabajar c modamente con las coordenadas de los puntos y realizar c lculos adicionales para construir un c rculo.

Paso 4: Construyendo rectas a trav s de dos puntos

Una vez que hayamos identificado los 3 puntos a trav s de los cuales queremos construir el c rculo, podemos pasar al siguiente paso: construir las rectas a trav s de los dos puntos. Estas rectas nos permitir n encontrar el centro y el Radio del c rculo.

Para construir una recta a trav s de dos puntos, necesitaremos los siguientes pasos:

  1. Determine los dos puntos a trav s de los cuales planea dibujar una l nea recta. Designemos estos puntos como A y B.
  2. Construya un plano de coordenadas y marque los puntos A y B en l.
  3. Construye un segmento AB conectando estos dos puntos. El segmento AB ser el segmento que se encuentra en la recta deseada.
  4. Encuentre el punto medio del segmento AB y designe con el punto M.
  5. Dibuja una recta que pase por el punto M y perpendicular al segmento AB. Esta recta cruzar el c rculo deseado en el centro.

Las rectas dibujadas a trav s de dos puntos nos ayudar n a encontrar el centro del c rculo y avanzar m s hacia la construcci n del c rculo en s .

Paso 5: Encontrar el punto medio del tramo

Una vez que hayamos definido todas las coordenadas necesarias de los puntos, podemos proceder a encontrar el punto medio del segmento. El punto medio de un segmento es un punto que se encuentra a igual distancia de los dos puntos extremos del segmento.

Para encontrar la mitad del segmento usaremos las siguientes f rmulas:

  • Para encontrar la coordenada x del centro del segmento: (x1 + X2) / 2
  • Para encontrar la coordenada y del centro del segmento: (Y1 + Y2) / 2

Donde x1 e y1 son las coordenadas del primer punto y x2 e y2 son las coordenadas del segundo punto.

Sustituyendo los valores de coordenadas en estas f rmulas, obtenemos los valores x e y de la mitad del segmento.

Por lo tanto, podemos encontrar el punto medio de un segmento basado en las coordenadas de los dos puntos extremos. Esta informaci n ser til para trazar un c rculo a trav s de tres puntos.

Paso 6: Encontrar el perpendicular

Despu s de encontrar el centro del c rculo y el Radio, podemos encontrar la perpendicular a la recta que pasa por dos puntos conocidos utilizando el siguiente algoritmo:

  1. Encuentra el punto medio entre dos puntos conocidos. Para hacer esto, calcule el promedio de las coordenadas x e y de ambos puntos.
  2. Calcule el coeficiente angular de una recta que pasa por dos puntos conocidos. Para ello, utilice la f rmula:
    3. m = (y2 y1) / (x2 x1)
  3. Calcule el coeficiente angular de la perpendicular invirtiendo y cambiando el signo del coeficiente angular de la recta. Para ello, utilice la f rmula:
    4. mperp = -1 / m
  4. Use el coeficiente angular perpendicular encontrado y el centro del segmento para encontrar la ecuaci n de la recta que pasa por el centro del c rculo y es perpendicular a la recta dada. La ecuaci n de la recta tiene la forma:
    5. y = mperp(x x0) + y0

    donde (x0, y0) son las coordenadas del centro del c rculo.

Ahora tenemos la ecuaci n de una recta que pasa por el centro de un c rculo y es perpendicular a una recta dada. Podemos usar esta ecuaci n para encontrar el punto de intersecci n de las rectas.

Paso 7: Encontrar el centro del c rculo

Despu s de determinar el Radio de un c rculo en el paso anterior, el siguiente paso es encontrar su centro. Para hacer esto, necesitamos usar las coordenadas de los tres puntos conocidos por los que debe pasar el c rculo.

Para encontrar el centro de un c rculo podemos utilizar uno de los siguientes m todos:

  1. M todo de intersecci n de medios
  2. M todo de las perendiculaciones
  3. M todo de dos segmentos

Considere cada uno de los m todos con m s detalle:

  • M todo de intersecci n de medios

    La esencia de este m todo es trazar dos medios entre pares de puntos y encontrar su punto de intersecci n. Este punto ser el centro del c rculo.

    PuntoCoordenadas (x, y)
    A(x1, y1)
    B(x2, y2)
    C(x3, y3)

    Entonces las coordenadas de los medios AB y AC ser n:

    • SAB: x = (x1 + x2) / 2, y = (y1 + y2) / 2
    • SAC: x = (x1 + x3) / 2, y = (y1 + y3) / 2

    AB AC:

    • AB: y = kAB * (x SAB.x) + SAB.y
    • AC: y = kAC * (x SAC.x) + SAC.y

    k :

    • kAB = (SAB.y y1) / (SAB.x x1)
    • kAC = (SAC.y y1) / (SAC.x x1)

    . :

    • kAB * (x SAB.x) + SAB.y = kAC * (x SAC.x) + SAC.y
    • y = kAB * (x SAB.x) + SAB.y

    , .

  • M todo de las perendiculaciones

    En este m todo, construiremos perpendiculares a los segmentos AB y AC que pasan por sus medios. El punto de intersecci n de estas perpendiculares ser el centro del c rculo.

    Para hacer esto, primero necesitamos encontrar la pendiente de las rectas AB y AC:

    • kAB = (y2 y1) / (x2 x1)
    • kAC = (y3 y1) / (x3 x1)

    Encontramos las coordenadas de los medios AB y AC:

    • SAB: x = (x1 + x2) / 2, y = (y1 + y2) / 2
    • SAC: x = (x1 + x3) / 2, y = (y1 + y3) / 2

    Tambi n encontramos los coeficientes de perpendiculares a las rectas AB y AC:

    • pAB = -1 / kAB
    • pAC = -1 / kAC

    La ecuaci n de las perpendiculares ser a la siguiente:

    • lAB: y = pAB * (x SAB.x) + SAB.y
    • lAC: y = pAC * (x SAC.x) + SAC.y

    Resolviendo el sistema de ecuaciones perpendiculares, encontramos las coordenadas del centro del c rculo.

  • M todo de dos segmentos

    Este m todo se basa en encontrar los dos medios de los segmentos AB y AC y su posterior intersecci n.

    Primero encontramos las coordenadas de los medios AB y AC:

    • SAB: x = (x1 + x2) / 2, y = (y1 + y2) / 2
    • SAC: x = (x1 + x3) / 2, y = (y1 + y3) / 2

    Tomemos los vectores AB y AC:

    • VAB = (x2 x1, y2 y1)
    • VAC = (x3 x1, y3 y1)

    Encontraremos el producto vectorial de estos vectores:

    • VABxAC = VAB.x * VAC.y VAB.y * VAC.x

    Encontrar las coordenadas del centro del c rculo:

    • C.x = SAB.x + (VAC.y * (SAB.y SAC.y) VAC.x * (SAB.x SAC.x)) / VABxAC
    • C.y = SAB.y + (VAB.x * (SAB.y SAC.y) VAB.y * (SAB.x SAC.x)) / VABxAC

En este punto, obtenemos las coordenadas del centro del c rculo, que establecer su posici n en el plano.

Paso 8: C lculo del Radio del c rculo

Una vez que hayamos determinado el centro del c rculo, paso 7, el siguiente paso es calcular su Radio. El Radio de un c rculo es la distancia desde el centro a cualquiera de los puntos que pertenecen al c rculo.

Para calcular el Radio de un c rculo utilizando los puntos de coordenadas A(x1, Y1), B(x2, Y2) y C(x3, y3) podemos usar la siguiente f rmula:

Radio del c rculo (r) = [(x1-h)^2 + (y1 k)^2]

donde:

  • (x1, y1) coordenadas del punto A;
  • (h, k) las coordenadas del centro del c rculo encontradas en el paso anterior.

Usando esta f rmula, podemos calcular el Radio de un c rculo para nuestro ejemplo.

  1. Supongamos que el punto a tiene las coordenadas A (2, 3), el centro del c rculo se encuentra en el paso anterior (h, k) = (1, 2).
  2. C lculo del Radio de un c rculo:
  • Radio del c rculo (r) = [(2 1)^2 + (3 2)^2]
  • Radio del c rculo (r) = [1 + 1]
  • Radio del c rculo (r) = 2

Por lo tanto, para un c rculo dado, el Radio es 2.

Pregunta-respuesta

Es posible construir un c rculo de 3 puntos si se encuentran en una l nea recta?

No, no es posible construir un c rculo si los 3 puntos se encuentran en la misma l nea recta. Un c rculo formado por 3 puntos siempre se encuentra fuera de la recta formada por estos puntos.

C mo puedo verificar la pertenencia de un punto de un c rculo construido por 3 puntos?

Para verificar si un punto de un c rculo construido a partir de los 3 puntos de partida pertenece, debe encontrar la distancia desde el centro del c rculo hasta ese punto. Esta distancia se compara con el Radio del c rculo: si la distancia es igual al Radio, entonces el punto se encuentra en el c rculo, si la distancia es menor que el Radio, entonces el punto se encuentra dentro del c rculo, y si la distancia es mayor que el Radio, entonces el punto se encuentra fuera del c rculo.

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