El determinante es una caracter stica importante de una matriz que se utiliza en lgebra lineal, teor a de grupos y otras disciplinas matem ticas. Sin embargo, cuando se aplican transformaciones elementales a matrices, el determinante puede variar. En este art culo, examinaremos las leyes b sicas que determinan c mo cambia el determinante en tales transformaciones, y tambi n proporcionaremos ejemplos para una explicaci n clara.
El determinante de matriz es una herramienta til para calcular caracter sticas como rango, matriz inversa, valores propios y m s. Por lo tanto, es importante saber c mo cambia el determinante en las transformaciones elementales. Existen tres leyes b sicas que definen estos cambios: I) si a cualquier fila (o columna) de la matriz se suma o resta otra fila (columna) multiplicada por alg n n mero, el determinante permanecer sin cambios; II) si se reorganizan las filas (o columnas) de la matriz, el determinante cambiar el signo; III) si a cualquier fila (o columna) de la matriz se multiplica por alg n n mero, el determinante se multiplica por ese n mero.
Por ejemplo, considere una matriz A de 3 3:
| 2 4 6 |
| 1 3 5 |
| 0 -1 2 |
Si aplicamos la primera transformaci n elemental agregando a la primera fila una segunda fila multiplicada por -1, el determinante de la matriz a permanece igual. Despu s de la transformaci n elemental obtenemos:
| 3 7 11 |
| 1 3 5 |
| 0 -1 2 |
En este art culo, consideraremos otros ejemplos de transformaciones elementales con matrices y su impacto en el determinante. Una comprensi n m s profunda de estas leyes nos permitir aplicar de manera efectiva las transformaciones elementales al resolver sistemas de ecuaciones lineales y otros problemas en los que el determinante desempe a un papel importante.
- Leyes b sicas del cambio determinante en las transformaciones elementales
- Ley de la suma
- Ejemplos de transformaciones elementales con determinante
- Pregunta-respuesta
- C mo cambia el determinante si se agrega o resta otra fila (columna) a una de las filas (columnas) de la matriz?
- C mo cambia el determinante si una de las filas (columnas) de la matriz se multiplica por un n mero?
- Qu sucede con el determinante si se intercambian dos filas (columnas) de una matriz?
Leyes b sicas del cambio determinante en las transformaciones elementales
El determinante es un n mero que se puede encontrar para una matriz cuadrada. Refleja algunas propiedades importantes de la matriz y se puede usar, por ejemplo, para determinar la reversibilidad de la matriz, resolver sistemas de ecuaciones lineales, etc.
Al realizar transformaciones elementales sobre una matriz, su determinante puede cambiar. Existen varias leyes que describen el cambio de determinante en las transformaciones elementales b sicas:
La regla de multiplicar una fila de matriz por un n mero: si todos los elementos de una fila de matriz se multiplican por el n mero k, entonces el determinante de la matriz tambi n se multiplicar por k.
Regla para agregar otra fila multiplicada por un n mero a una fila de la matriz: si agrega otra fila multiplicada por el n mero k a una fila de la matriz, el determinante de la matriz no cambiar .
Regla de permutaci n de dos filas de matriz: Si intercambia dos filas de la matriz, el determinante de la matriz cambiar su signo al opuesto.
Al realizar otras transformaciones elementales, como la permutaci n de dos columnas o la multiplicaci n de una columna por un n mero, las leyes de cambio de determinante similares siguen siendo v lidas, pero aplicando las operaciones de columna apropiadas.
Considere un ejemplo para representar visualmente el cambio del determinante en transformaciones elementales. Para la matriz:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
Realice la conversi n: a la tercera l nea, agregue la primera l nea multiplicada por 2. Obtenemos una nueva matriz:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 9 | 12 | 15 |
El determinante de la nueva matriz tambi n es igual al determinante de la matriz original, ya que realizamos una transformaci n de segundo tipo en la que el determinante no cambia.
Ley de la suma
La ley de la suma es una de las leyes b sicas que determinan el cambio del determinante de la matriz en las transformaciones elementales. La esencia de la ley es que si se agrega otra fila (columna) a una fila (columna) de una matriz, el determinante de la matriz no cambiar .
Formalmente, si se da una matriz a de Tama o $n \ times m$:
$$ A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm} \\
\end{bmatrix} $$
B, $i$- $j$- ($1 \leq i, j \leq n$):
$$ B = A + \begin{bmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{i1} + a_{j1} & \dots & a_{im} + a_{jm} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 0 \\
\end{bmatrix} $$
B A.
:
A:
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
A adimos a la primera l nea la segunda l nea:
Matriz B:
| 4 | 6 |
| 3 | 4 |
El determinante de la matriz B tambi n es 2.
Ejemplos de transformaciones elementales con determinante
Las transformaciones elementales permiten cambiar la matriz, con el determinante tambi n sujeto a cambio. Los siguientes son ejemplos de transformaciones elementales y su impacto en el determinante de la matriz:
Reorganizar dos filas (columnas).
Si se intercambian dos filas (columnas) de la matriz, el determinante de la matriz cambia el signo:
a b c d Determinante antes de la conversi n: ad-bc
c d a b Determinante despu s de la conversi n: bd-ac
Multiplicar una fila (columna) por un n mero.
Si la fila (columna) de la matriz se multiplica por un n mero, entonces el determinante de la matriz tambi n se multiplica por ese n mero:
a b c d Determinante antes de la conversi n: ad-bc
2a 2b c d Determinante despu s de la conversi n: 2 (ad-bc)
A adir a una fila (columna) otra fila (columna) multiplicada por un n mero.
Si a una fila (columna) de la matriz agrega otra fila (columna) multiplicada por un n mero, el determinante de la matriz no cambiar :
a b c d Determinante antes de la conversi n: ad-bc
a+2c b+2d c d Determinante despu s de la conversi n: ad-bc
Pregunta-respuesta
C mo cambia el determinante si se agrega o resta otra fila (columna) a una de las filas (columnas) de la matriz?
Si a una de las filas (columnas) de la matriz se suma o resta otra fila (columna) multiplicada por alg n n mero, el valor del determinante no cambiar .
C mo cambia el determinante si una de las filas (columnas) de la matriz se multiplica por un n mero?
Si una de las filas (columnas) de la matriz se multiplica por un n mero, el valor del determinante se multiplica por ese n mero.
Qu sucede con el determinante si se intercambian dos filas (columnas) de una matriz?
Si intercambia dos filas (columnas) de la matriz, el signo determinante cambia al opuesto.