La prueba de esta afirmaci n se puede hacer utilizando el conocimiento b sico de la divisibilidad de los n meros y las operaciones aritm ticas.
Supongamos que tenemos alg n n mero n para el cual la suma de sus d gitos es igual a la suma de los d gitos del n mero 5N. Para verificar si un n mero n es divisible por 9, considere la suma de sus d gitos y la suma de los d gitos del n mero 5N por separado.
La suma de los d gitos del n mero n se puede representar como la suma de cada d gito individual de ese n mero. Por ejemplo, si n = 1234, entonces la suma de sus d gitos es 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Del mismo modo, para un n mero 5n, la suma de sus d gitos ser igual a 5 * (1 + 2 + 3 + 4) = 50.
Ahora comparemos las sumas resultantes: la suma de los d gitos del n mero n y la suma de los d gitos del n mero 5n. Si son iguales, entonces tenemos la ecuaci n 10 = 50, que no se cumple. Por lo tanto, la suposici n de la coincidencia de la suma de los d gitos del n mero n y la suma de los d gitos del n mero 5n es incorrecta.
Por lo tanto, se puede concluir que si la suma de los d gitos del n mero n es igual a la suma de los d gitos del n mero 5N, entonces n no puede ser un n mero distinto de cero y es divisible por 9. Esto se debe a que cuando se multiplica por 5, la suma de los d gitos del n mero aumenta 5 veces, lo que no es posible con un n mero distinto de cero.
- Prueba de la suma de los d gitos de un n mero y 5n
- Pinito: la expresi n del n mero n como la suma de sus d gitos
- Segundo paso: expresar el n mero 5n como la suma de sus d gitos
- Prueba: la suma de los d gitos del n mero n es igual a la suma de los d gitos del n mero 5n
- Pregunta-respuesta
Prueba de la suma de los d gitos de un n mero y 5n
Para demostrar que si la suma de los d gitos del n mero n es igual a la suma de los d gitos del n mero 5n, entonces n es divisible por 9, se puede usar la siguiente l gica:
- Supongamos que la suma de los d gitos del n mero n es igual a la suma de los d gitos del n mero 5N. Deje que n se componga de K d gitos.
- Denotamos la suma de los d gitos del n mero n como s(n) y la suma de los d gitos del n mero 5n como s (5n).
- Dado que 5n consiste en los mismos d gitos que n, pero multiplicado por 5, la suma de los d gitos del n mero 5N es 5*s(n).
- Suponiendo que s (n) = s(5n), significa 5*s(n) = s (n).
- Por lo tanto, 4 * s (n) = 0.
- Dado que 4 * s (n) es divisible por 4 y 0 es divisible por cualquier n mero, entonces la suma de los d gitos del n mero n debe ser divisible por 4.
- Dado que 4 * s (n) = 0, la suma de los d gitos del n mero n tambi n es divisible por 4.
Por lo tanto, hemos demostrado que si la suma de los d gitos del n mero n es igual a la suma de los d gitos del n mero 5n, entonces n debe ser divisible por 4. Sin embargo, demostrar que n es divisible por 9 no es suficiente. Se necesita m s razonamiento y conocimiento sobre los enteros para una prueba completa, pero esto est fuera del alcance de este art culo.
Pinito: la expresi n del n mero n como la suma de sus d gitos
Para empezar, considere un n mero arbitrario n, que representaremos como la suma de sus d gitos.
Supongamos que el n mero n se compone de los d gitos amam-1...a2a1a0, donde am es el d gito m s grande del n mero n y a0 es el d gito m s peque o del n mero n.
Entonces podemos escribir el n mero n como:
| n = am * 10m + am-1 * 10m-1 + + a2 * 102 + a1 * 101 + a0 * 100 |
Aqu , cada n mero de ai se multiplica por 10 en el grado i y se suma al resto de los n meros.
Hemos obtenido la expresi n del n mero n como la suma de sus d gitos. A continuaci n, utilizaremos esta expresi n para analizar las propiedades del n mero n.
Segundo paso: expresar el n mero 5n como la suma de sus d gitos
La prueba asume que la suma de los d gitos del n mero n es igual a la suma de los d gitos del n mero 5N. el Segundo paso en la prueba es expresar el n mero 5N como la suma de sus d gitos.
Considere un n mero arbitrario n que consiste en los d gitos a1a2...ak, donde a1 es el d gito m s alto, ak es el d gito m s bajo.
Entonces el n mero 5n se puede escribir como 5 * (a1a2 ... ak). Por conveniencia, reemplazamos la entrada habitual de multiplicaci n entre n meros con el signo " * " para evitar la repetici n de los caracteres "".
Reescribimos esta expresi n como una suma de d gitos:
| Expresi n | Suma |
|---|---|
| 5 * (a1a2 ak) | 5a1 + 5a2 + + 5ak |
Cada d gito del n mero n se multiplica por 5, por lo que se puede argumentar que la suma de los d gitos del n mero 5n ser igual a la suma multiplicada por 5 d gitos del n mero n.
Por lo tanto, expresamos el n mero 5n como la suma de sus d gitos.
Prueba: la suma de los d gitos del n mero n es igual a la suma de los d gitos del n mero 5n
Supongamos que la suma de los d gitos del n mero n es igual a la suma de los d gitos del n mero 5n. Tenemos que demostrar que n es divisible por 9.
- Descomponemos el n mero n por la suma de sus d gitos. Sea n = a1 + A2 + ... + ak, donde ai son los d gitos del n mero n.
- Entonces el n mero 5N = 5(a1 + A2 + ... + ak) = 5a1 + 5a2 + ... + 5ak.
- Dado que la suma de los d gitos del n mero n es igual a la suma de los d gitos del n mero 5n, obtenemos la ecuaci n:
a1 + a2 + + ak = 5a1 + 5a2 + + 5ak.
- Restemos de ambas partes de la ecuaci n la suma de los d gitos del n mero n: