Un trapecio es un cuadril tero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. En este art culo, consideraremos el caso cuando el trapecio tiene bases y diagonales que se cruzan.
Supongamos que se da el trapecio ABCD, en el que las bases AB y CD se cruzan en el punto E, y la diagonal AC cruza el lado BD en el punto F (ver. figura). Nuestra tarea es encontrar una f rmula para calcular el rea de un trapecio dado.
Para probar la f rmula de rea trapezoidal con bases y diagonales que se cruzan, considere los tri ngulos rect ngulos AEF y DEC obtenidos al realizar la diagonal AC.
Usando las propiedades de los tri ngulos rect ngulos, podemos escribir las siguientes ecuaciones:
rea del tri ngulo AEF: SAEF = * AE * EF
REA del tri ngulo DEC: SDEC = * DE * EC
Tenga en cuenta que las bases del trapecio AB y CD son paralelas, por lo que DE = AB. Sustituyendo este valor en la f rmula para el rea del tri ngulo DEC, obtenemos:
SDEC = * AB * EC
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- F rmula de rea trapezoidal
- Prueba de f rmula cuadrada
- Trapecio con bases que se cruzan
- Trapecio con diagonal
- Relaci n entre bases y diagonal
- F rmula de rea trapezoidal con bases que se cruzan y diagonal
- Pregunta-respuesta
- C mo probar la f rmula del rea del trapecio con las bases que se cruzan y la diagonal?
- C mo encontrar el rea de un trapecio con bases que se cruzan y una diagonal?
- C mo usar las propiedades de los tri ngulos y paralelogramos para probar?
F rmula de rea trapezoidal
Un trapecio es un cuadril tero en el que los dos lados son paralelos y se llaman bases, mientras que los otros dos lados son lados.
Para encontrar el rea de un trapecio con bases y diagonales que se cruzan, se puede usar la siguiente f rmula:
S = ((a + b) / 2) * h
donde:
- a-longitud de una de las bases
- B-longitud de la otra base
- h-altura del trapecio (distancia entre bases)
Para encontrar el rea del trapecio, debe sumar las longitudes de las bases, dividir la cantidad resultante por 2 y multiplicar por la altura del trapecio.
Por ejemplo, si la longitud de una de las bases a = 5 cm, la longitud de la otra base B = 7 cm y la altura h = 10 cm, entonces el rea del trapecio ser a:
S = ((5 + 7) / 2) * 10 = 60 cm2
Por lo tanto, el rea del trapecio es igual a 60 cent metros cuadrados.
Prueba de f rmula cuadrada
La f rmula para calcular el rea de un trapecio con bases que se cruzan y una diagonal es una expresi n algebraica que se puede obtener transformando la construcci n geom trica de un trapecio.
Para probar la f rmula del rea del trapecio, usemos las propiedades del paralelogramo. Considere un trapecio ABCD con bases AB y CD, y una diagonal AC:
- Veamos los tri ngulos ABC y BCD. Tienen una altura total que es perpendicular a la base AB y la cruza en el punto H.
- Dado que el rea del tri ngulo es igual a la mitad del producto de la base por altura, podemos expresar el rea del tri ngulo ABC a trav s de la base AB y la altura H:
- Del mismo modo, podemos expresar el rea del tri ngulo BCD a trav s de la base de CD y la altura H:
- Ahora veamos el cuadril tero ABCD. Se puede dividir en dos tri ngulos ABC y BCD que tienen una altura total de H. el rea del cuadril tero ABCD es igual a la suma de las reas de los tri ngulos ABC y BCD:
- Reescribimos la f rmula combinando el multiplicador total:
| Tri ngulo | Plaza |
|---|---|
| ABC | SABC = (AB * H) / 2 |
| Tri ngulo | Plaza |
|---|---|
| BCD | SBCD = (CD * H) / 2 |
| Cuadr ngulo | Plaza |
|---|---|
| ABCD | SABCD = SABC + SBCD = (AB * H) / 2 + (CD * H) / 2 |
| SABCD = (AB + CD) * H / 2 |
Por lo tanto, obtuvimos una f rmula para calcular el rea de un trapecio con bases que se cruzan y una diagonal: SABCD = (AB + CD) * H / 2.
Trapecio con bases que se cruzan
Un trapecio es un cuadril tero en el que dos lados opuestos son paralelos y se llaman bases. Una de las bases del trapecio suele ser m s larga que la otra.
Tal trapecio se llama trapecio con bases que se cruzan. En este caso, un tercer lado, llamado diagonal, conecta los dos lados no paralelos del trapecio.
Un trapecio con bases que se cruzan tiene una serie de propiedades interesantes:
- Esquinas de los lados adyacentes. Los ngulos formados por una diagonal rectil nea y cualquiera de los lados del trapecio son adyacentes y adicionales (su suma es igual a 180 grados).
- Suma de razones. La suma de dos bases trapezoidales con bases que se cruzan es igual a la longitud de la diagonal que las cruza.
- Altura del trapecio. La altura del trapecio es un segmento que se baja de uno de los v rtices de los lados paralelos del trapecio a una recta que contiene la otra base. Es perpendicular a las bases e igual a la distancia entre los lados paralelos del trapecio.
El trapecio con bases superpuestas se puede utilizar para resolver una variedad de problemas geom tricos y tambi n tiene aplicaciones pr cticas en muchos campos, como la arquitectura, la construcci n y la ingenier a.
Trapecio con diagonal
Un trapecio con una diagonal se llama un cuadril tero, en el que los dos lados opuestos son las bases y el tercer lado es una diagonal.
La diagonal del trapecio es un segmento que conecta los v rtices que no pertenecen a un lado del trapecio.
Dicho trapecio tiene las siguientes caracter sticas:
- Los dos lados opuestos se llaman bases.
- Los otros dos segmentos que conectan los v rtices correspondientes de las bases se llaman lados.
- El ngulo entre los lados se llama ngulo entre las bases.
- La diagonal divide el trapecio en dos tri ngulos.
F rmula para calcular el rea de un trapecio con una diagonal:
S = 0.5 * (a + b) * h |
donde:
- a y B son las longitudes de las bases,
- h es la altura llevada a la base.
Tambi n se puede usar la f rmula de rea a trav s de la diagonal:
S = 0.5 * d * (a + b), |
donde:
- d es la longitud de la diagonal.
Una vez que encuentre el rea del trapecio, puede usar este valor para resolver varios problemas geom tricos, por ejemplo, para encontrar el rea de las formas que se forman al dividir el trapecio en diferentes partes.
Relaci n entre bases y diagonal
En un trapecio con bases que se cruzan y una diagonal, existen ciertas conexiones entre estos elementos.
Una de estas relaciones es la suma de las bases y la diagonal es igual al doble de la base: