Un c rculo es un lugar geom trico de puntos que est n a la misma distancia del centro. El Radio de un c rculo es la distancia desde el centro de un c rculo a cualquier punto de su circunferencia. Para cualquier punto dentro de un c rculo, la distancia al centro del c rculo ser menor que el Radio.
Para probar este hecho, nuestra tarea ser considerar un punto arbitrario A dentro de un c rculo. Supongamos que la distancia desde el punto A al centro del c rculo es mayor que el Radio. Como A est dentro de un c rculo, hay un punto B en el c rculo que se conecta con el centro del c rculo y el punto A. En este ngulo podemos poner el punto C tal que la parte BA es igual a la parte CA.
Supongamos que la distancia desde el punto A al centro del c rculo es mayor que el Radio. En este ngulo podemos poner el punto C tal que la parte BA es igual a la parte CA.
Tenga en cuenta que los puntos C y C est n fuera del c rculo. Tambi n porque BC > BA, entonces BC > AB. Pero esto contradice la definici n de un c rculo donde todos los puntos est n a la misma distancia del centro. Por lo tanto, la suposici n de que la distancia desde el punto A al centro del c rculo es mayor que el Radio es falsa. Es decir, la distancia desde cualquier punto dentro del c rculo hasta el centro ser menor que el Radio.
- Definici n
- Prueba directa
- Ejemplos de ilustraciones
- Pregunta-respuesta
- C mo probar que la distancia desde el punto a hasta el centro del c rculo es menor que el Radio?
- C mo se puede probar que la distancia desde el punto a al centro del c rculo es menor que el Radio sin usar el teorema de Pit goras?
- Qu propiedad geom trica permite deducir que la distancia desde el punto a hasta el centro del c rculo es menor que el Radio?
Definici n
La distancia desde el punto a al centro de un c rculo se define como la longitud del segmento que conecta el punto a dado y el centro del c rculo. La distancia se indica como d (a, q).
El Radio de un c rculo se define como la distancia desde el centro de un c rculo hasta cualquier punto en su l mite. El Radio se designa como r.
Si la distancia desde el punto a al centro del c rculo es menor que el Radio, entonces se cumple la desigualdad: d (a, q) < r.
Prueba directa
Considere un c rculo con el centro en el punto O y el Radio R. Deje que el punto A est fuera del c rculo. Necesitamos probar que la distancia desde el punto A hasta el centro del c rculo es menor que el Radio.
Supongamos que la distancia desde el punto A al centro del c rculo es mayor que el Radio. Es decir, sea OA > R. entonces el punto A est fuera de la circunferencia y podemos dibujar una recta AB que cruza la circunferencia.
Deje que el punto B sea el punto de intersecci n de la recta AB con el c rculo. Entonces AB es tangente al c rculo en el punto B.
Considere el tri ngulo OAB. El ngulo de OBA es de 90 grados, ya que AB es tangente al c rculo. Adem s, el ngulo de OAB es de 90 grados, ya que OA es el Radio del c rculo.
Resulta que en el tri ngulo OAB, dos ngulos son iguales a 90 grados. Por lo tanto, el tercer ngulo ( ngulo OBA) tambi n es de 90 grados, lo que significa que el tri ngulo OAB es rectangular.
Dado que en un tri ngulo rect ngulo la hipotenusa es siempre mayor que cualquiera de los Catetos, en este caso OA debe ser mayor que AB. Sin embargo, seg n la construcci n, AB es un segmento desde el punto A hasta el c rculo, lo que significa que debe ser mayor que OA.
Contradicci n! Esto no puede ser, as que nuestra suposici n era incorrecta. Por lo tanto, la distancia desde el punto A al centro del c rculo debe ser menor que el Radio.
Ejemplos de ilustraciones
Para mayor claridad, considere algunos ejemplos que ayudar n a comprender y recordar la idea b sica de la prueba directa.
Ejemplo 1:
Sea dado un c rculo con un Radio de 5 y un punto a dentro de ese c rculo.
Entonces la distancia desde el punto a al centro del c rculo ser menor que el Radio:
Distancia de a al centro: 3 Menos Radio: 5 Ejemplo 2:
Supongamos que se da un c rculo con un Radio de 7 y un punto a dentro de ese c rculo.
Entonces la distancia desde el punto a al centro del c rculo ser menor que el Radio:
Distancia de la a al centro: 4 Menos Radio: 7 Ejemplo 3:
Supongamos que se da un c rculo con un Radio de 10 y un punto a dentro de ese c rculo.
Entonces la distancia desde el punto a al centro del c rculo ser menor que el Radio:
Distancia de la a al centro: 6 Menos Radio: 10
Por lo tanto, los ejemplos dados demuestran claramente que la distancia desde el punto a hasta el centro del c rculo siempre ser menor que el Radio. La verificaci n de este hecho se puede realizar en cualquier otro ejemplo, y el resultado ser similar.
Pregunta-respuesta
C mo probar que la distancia desde el punto a hasta el centro del c rculo es menor que el Radio?
Para probar esta afirmaci n, se puede usar el teorema de Pit goras. Si consideramos un tri ngulo rect ngulo, en el que uno de los Catetos es igual al Radio de la circunferencia, y la hipotenusa es el segmento desde el centro de la circunferencia hasta el punto a, entonces del teorema de Pit goras se deduce que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los Catetos. Si el cateto es igual al Radio, y la hipotenusa es la distancia desde el punto a al centro de la circunferencia, obtenemos la desigualdad: el Radio en el cuadrado es mayor que la distancia desde el punto a al centro de la circunferencia en el cuadrado. Es decir, la distancia desde el punto a al centro del c rculo es menor que el Radio.
C mo se puede probar que la distancia desde el punto a al centro del c rculo es menor que el Radio sin usar el teorema de Pit goras?
Hay otra prueba de este hecho. Imaginemos un c rculo en el plano y dibujemos un Radio desde el centro del c rculo hasta el punto a. luego dibujemos otro Radio paralelo al eje de la orden. Por lo tanto, dividimos el c rculo en dos arcos. Tenga en cuenta que la distancia desde el punto a hasta el centro del c rculo es igual a la distancia entre dos radios paralelos. En este caso, un arco del c rculo estar por debajo del eje de la orden, y el segundo por encima. Dado que el Radio desciende desde el centro del c rculo hasta el punto en el arco inferior, la distancia desde el punto a al centro debe ser menor que el Radio, ya que est dentro del c rculo.
Qu propiedad geom trica permite deducir que la distancia desde el punto a hasta el centro del c rculo es menor que el Radio?
Esta propiedad se llama "Teorema de una perpendicular dibujada desde el centro de un c rculo a una cuerda". Ella afirma que una perpendicular dibujada desde el centro del c rculo hacia el acorde divide el acorde por la mitad. Si dividimos la cuerda en dos partes iguales, una de ellas ser el Radio del c rculo y la otra la distancia desde el punto a hasta el centro del c rculo. Dado que el Radio es la mitad del acorde y la distancia desde el punto a hasta el centro del c rculo es la segunda mitad del acorde, debe ser menor que el Radio.