La mediana es el segmento de la recta que conecta el v rtice del tri ngulo con el centro del lado opuesto. En geometr a, las medianas tienen muchas propiedades interesantes y son objetos de estudio de muchos teoremas. En este art culo consideraremos uno de estos teoremas y lo probaremos.
Teorema: La recta que pasa por los medios de los dos lados del tri ngulo es paralela a la tercera parte y es la mediana.
Para probar este teorema, considere un tri ngulo ABC arbitrario y marque los medios de los lados AB y AC. Deje que los puntos medios de los lados AB y AC se denoten como D y E, respectivamente.
Para empezar, tenga en cuenta que, por definici n, los medios de los lados los dividen en dos partes iguales. Por lo tanto, los segmentos AD y CD son iguales entre s , y los segmentos AE y CE tambi n son iguales. De esto se deduce que el tri ngulo ADE es is sceles.
- La f rmula de la mediana y sus propiedades
- Qu es la mediana?
- Prueba geom trica
- Prueba algebraica
- Pregunta-respuesta
- C mo probar que la recta que pasa por los medios es la mediana?
- Necesito probar que la recta que pasa por los medios de los lados del tri ngulo es la mediana. Puede ayudarme?
La f rmula de la mediana y sus propiedades
La mediana es el segmento que conecta el v rtice del tri ngulo con el centro del lado opuesto. La f rmula para calcular la mediana es la siguiente:
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Propiedades de las medianas del tri ngulo:
- Todas las medianas del tri ngulo se intersecan en un punto llamado centro de gravedad del tri ngulo.
- Cada mediana divide el lado correspondiente del tri ngulo por la mitad.
- La mediana es la altura del tri ngulo y es perpendicular al lado correspondiente.
- El segmento que conecta el v rtice del tri ngulo con el centro del lado opuesto es igual a la mitad de la diagonal del paralelogramo construido en ese lado.
- Las medianas dividen el tri ngulo en seis tri ngulos iguales.
- Las medianas son el eje de simetr a de un tri ngulo.
Usando las propiedades de las medianas, se puede demostrar que la recta que pasa por los medios de los lados del tri ngulo es la mediana del tri ngulo.
Qu es la mediana?
La mediana es una l nea especial que est unida a un tri ngulo. Conecta uno de los v rtices del tri ngulo con el centro del lado opuesto. En un tri ngulo rect ngulo, la mediana es tambi n la altura y la mediana sobre la hipotenusa.
Para el tema en cuesti n la mediana que atraviesa los puntos medios de los tres lados del tri ngulo, tambi n conocida como la mediana del tri ngulo unitario. Es un caso especial de la mediana y se cumple para cualquier tri ngulo.
En otras palabras, la mediana es una l nea que divide el lado del tri ngulo por la mitad, comenzando desde uno de los v rtices hasta el centro del lado opuesto. Por lo tanto, la mediana divide el lado en dos partes iguales.
Las medianas son interesantes porque se intersecan en un punto llamado centro de masa del tri ngulo o punto de intersecci n de las medianas. Esto significa que las tres medianas se cruzan en un punto, que es el punto de equilibrio del tri ngulo.
Las medianas tambi n tienen una serie de propiedades interesantes, incluido el hecho de que dividen el tri ngulo en seis tri ngulos iguales con las mismas reas.
Por lo tanto, la mediana es un elemento importante de un tri ngulo que tiene una serie de propiedades nicas y existe en cada tri ngulo.
Prueba geom trica
Para probar que la recta que pasa a trav s de los medios de los lados del tri ngulo es la mediana, considere el siguiente Esquema.
- Supongamos que tenemos un tri ngulo ABC, con los medios de los lados M, N y p, respectivamente.
- Dibujemos una l nea recta que conecte los medios de los lados AB y BC, y designemos su punto de intersecci n como X.
Probemos que la recta XM es la mediana del tri ngulo ABC.
- Prueba de lo contrario: Supongamos que la recta XM no es la mediana. Dado que la mediana divide el lado en dos partes iguales, entonces el punto X no es el medio del lado AC.
- Tenga en cuenta que los tri ngulos XAB y XBC son similares. Para ello, se pueden utilizar dos propiedades de estos tri ngulos:
- El ngulo XAB es igual al ngulo XBC, ya que son ngulos verticales.
- El ngulo ABX es igual al ngulo BCX, ya que son los ngulos correspondientes cuando los ngulos ABC y BAC son iguales.
- Por lo tanto, los tri ngulos XAB y XBC son similares en dos esquinas, lo que significa que sus lados son proporcionales.
- Dado que el punto X no es el medio del lado AC, las rectas MA y cx no son proporcionales.
- Sin embargo, como M es el medio del lado AB y P es el medio del lado AC, la recta MP divide el tri ngulo ABC por la mitad. Esto significa que la MP recta es la mediana del tri ngulo ABC.
- Pero como la recta XM no es una mediana, se obtiene una contradicci n.
- Por lo tanto, nuestra suposici n era incorrecta y la recta XM es la mediana del tri ngulo ABC.
Por lo tanto, hemos demostrado que la recta que pasa a trav s de los medios de los lados del tri ngulo es la mediana. Esta prueba geom trica permite ver que la mediana divide el lado del tri ngulo en dos partes iguales.
Prueba algebraica
Para probar que la recta que pasa por los medios de los lados del tri ngulo es la mediana, considere la recta y su relaci n con los lados del tri ngulo.
Sea dado un tri ngulo ABC, una recta DE mediana que corre a trav s de los medios de los lados AB y AC. Denotamos el punto de intersecci n de la mediana con el lado AB como F y el punto de intersecci n de la mediana con el lado AC como G.
Dado que el punto D es el medio del lado AB, se puede decir que:
- AD = BD (por definici n de medio)
- DF = EF (por definici n de mediana)
Del mismo modo, dado que el punto E es el medio del lado AC, entonces:
- AE = CE (por definici n de medio)
- EG = FG (por definici n de mediana)
Considere las relaciones de los lados del tri ngulo ABC. Por definici n de mediana, la mediana divide el lado del tri ngulo en dos partes iguales. Por lo tanto, se pueden escribir las siguientes ecuaciones:
| AD = BD | (1) |
| AE = CE | (2) |
| DF = EF | (3) |
| EG = FG | (4) |
Ahora considere la recta DE y exprese las relaciones entre los lados del tri ngulo a trav s de estas igualdad. Para hacer esto, dibujemos una recta DG y consideremos los tri ngulos ADF y CDG:
- En el tri ngulo ADF tenemos:
- AD = DF (por (1) y (3))
- AE = CE (por (2))
- En el tri ngulo CDG tenemos:
- DF = EG (por (3) y (4))
- CE = AE (por (2))
A partir de estas dos ecuaciones, se puede concluir que el tri ngulo ADF es igual al tri ngulo CDG por lado-lado-lado (por el teorema de igualdad de tri ngulos).
Por lo tanto, los segmentos AF y CG son iguales entre s , ya que son los lados correspondientes de tri ngulos iguales.
Esto significa que la recta DE que pasa por los medios de los lados AB y AC tambi n pasa por el punto de intersecci n de las medianas AM y BN del tri ngulo ABC, donde M y N son los medios de los lados AC y BC, respectivamente.
Por lo tanto, la prueba algebraica de que una recta que pasa por los medios de los lados de un tri ngulo es una mediana es la prueba de la igualdad de relaciones entre las longitudes de los lados del tri ngulo, basada en las definiciones de medio y mediano.
Pregunta-respuesta
C mo probar que la recta que pasa por los medios es la mediana?
Para probar este hecho, se puede usar el m todo de dividir un tri ngulo en dos subtribundos iguales. Supongamos que se le da un tri ngulo ABC, la recta M pasa por los medios de los lados AB y AC y cruza BC en el punto D. Probemos que MD es la mediana del tri ngulo ABC. Tomemos el punto E el medio del lado BC. Como M divide el lado AB por la mitad, entonces AM = MB. Del mismo modo, dado que M divide el lado AC por la mitad, entonces AM = MC. De estas dos ecuaciones se deduce que AM = MB = MC. Adem s, dado que E es el medio del lado BC, entonces BE = EC. Combinemos estas igualdad: AM = MB = MC y BE = EC. Usando los dos tri ngulos is sceles AMB y CME, se puede demostrar que los tri ngulos AMD y CMD son iguales en el lado MD y el ngulo general ADM = CDM, lo que significa que el ngulo MDC = MDA. Dado que el ngulo MDC = MDA y el lado MC = AM, la propiedad de la mediana del tri ngulo MD es la mediana del tri ngulo ABC.
Necesito probar que la recta que pasa por los medios de los lados del tri ngulo es la mediana. Puede ayudarme?
Claro! Para probar que la recta que pasa por los medios de los lados del tri ngulo es la mediana, tome el tri ngulo ABC y la recta que pasa por los medios de los lados AB y AC. Denotamos el medio del lado AB como M1 y el medio del lado AC como M2. Ahora Trace la recta M1M2 y deje que cruce el lado BC en el punto D. debe probar que MD es la mediana del tri ngulo ABC. Para hacer esto, use las propiedades de las perpendiculares medias y los tri ngulos obtenidos al dividir el tri ngulo ABC en dos subtrilones iguales. Compare los lados y ngulos correspondientes de los tri ngulos y muestre que MD divide el lado BC por la mitad y el ngulo MDA = MDC. Por lo tanto, la recta que pasa por los medios de los lados del tri ngulo es la mediana.