Esta tarea propone demostrar que la suma de una unidad con los cuadrados de tres n meros consecutivos es divisible por 3. Para empezar, Recordemos que el cuadrado de un n mero es igual al producto de este n mero en s mismo. Es decir, si tenemos una secuencia de n meros n, n+1 y n+2, entonces sus cuadrados ser n n^2, (n+1)^2 y (n+2)^2, respectivamente.
Ahora tenemos que demostrar que la suma de estos cuadrados m s uno es divisible por 3. Podemos tomar la suma original y dividirla por 3. Si el resultado es un n mero entero, entonces significar que la afirmaci n original es verdadera.
Para empezar, abra los par ntesis en la expresi n (n^2 + 2N + 1) + (n^2 + 4N + 4) + (n^2 + 6N + 9). Despu s de las operaciones matem ticas ordinarias obtenemos 3n^2 + 12n + 14.
Vemos que tenemos un divisor de 3 en las tres partes de la suma original, por lo que queda por Mostrar que la suma de los cuadrados de los residuos cuando se divide por 3 unidades tambi n ser divisible por 3. Esto se puede hacer comprobando cada residuo (0, 1 y 2) cuando se divide por 3.
- Teorema de divisibilidad de la suma de una unidad con los cuadrados de tres n meros consecutivos por 3
- Formulaci n del teorema
- Prueba del teorema
- Ejemplo
- Pregunta-respuesta
Teorema de divisibilidad de la suma de una unidad con los cuadrados de tres n meros consecutivos por 3
Este teorema establece que la suma de la unidad se combina con la suma de los cuadrados de tres n meros consecutivos, y se divide por 3.
Formalmente se puede escribir:
Teorema: La longitud de la secuencia de n meros es 3. Si los n meros se denotan como n, n+1 y n + 2, entonces la suma de la unidad y los cuadrados de esos n meros, es decir, (n + (n+1) + (n+2))^2 es divisible por 3.
Por lo tanto, representamos la suma de la unidad mediante combinaciones de una secuencia de n meros y encontramos su cuadrado. Luego verificamos la divisibilidad de esta cantidad por 3.
Para obtener una confirmaci n emp rica de este teorema, puede utilizar la tabla:
| N mero (n) | N mero (n+1) | N mero (n+2) | Suma de n meros y unidades | Cuadrado de la suma | Es divisible por 3? |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 7 | 49 | S |
| 2 | 3 | 4 | 9 | 81 | S |
| 3 | 4 | 5 | 12 | 144 | S |
Como puede ver en la tabla, para los tres ejemplos, la suma de los n meros y la unidad de los cuadrados se divide por 3. Por lo tanto, confirma nuestro teorema.
Formulaci n del teorema
Teorema:
La suma de una unidad con los cuadrados de tres n meros consecutivos es divisible por 3.
Evidencia:
Supongamos que se dan tres n meros consecutivos:
| D a primero: | a |
| Segundo n mero: | a + 1 |
| Tercer n mero: | a + 2 |
Entonces la suma de la unidad con los cuadrados de estos n meros ser a:
(a + 1)^2 + a^2 + (a + 2)^2 + 1 = a^2 + 2a + 1 + a^2 + a^2 + 4a + 4 + 1 =
3a^2 + 6a + 6 = 3(a^2 + 2a + 2)
Por lo tanto, la suma de uno con los cuadrados de tres n meros consecutivos es el producto del n mero 3 por alg n entero (a^2 + 2A + 2), que es la definici n de dividir por 3 sin resto. Teorema probado.
Prueba del teorema
Para probar el teorema de que la suma de una unidad con los cuadrados de tres n meros consecutivos es divisible por 3, usemos el m todo de inducci n matem tica.
Paso 1: Compruebe que la afirmaci n es verdadera para el n mero inicial.
Supongamos que nuestro primer n mero es n = 1. Entonces la suma de uno con los cuadrados de tres n meros consecutivos ser a igual a:
- 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 4 = 5
Vemos que la suma no es divisible por 3. Entonces, para n = 1, la declaraci n falla.
Paso 2: Supongamos que la afirmaci n es verdadera para alg n n mero k:
1 + k2+(k + 1)2+(k + 2)2 es divisible por 3.
Paso 3: Probemos que la afirmaci n tambi n es cierta para el n mero k + 1:
Escribimos la suma de la unidad con los cuadrados de tres n meros consecutivos para k + 1:
- 1 + (k+1)2 + (k+2)2 + (k+3)2
- 1 + k2 + 2k + 1 + k2 + 4k + 4 + k2 + 6k + 9
- 3k2 + 12k + 15
- 3(k2 + 4k + 5)
La ecuaci n es divisible por 3, ya que (k2 + 4K + 5) es un n mero entero. Por lo tanto, la afirmaci n tambi n es cierta para el n mero k+1.
Por lo tanto, la afirmaci n del teorema se demuestra mediante el m todo de inducci n matem tica. La suma de uno con los cuadrados de tres n meros consecutivos siempre es divisible por 3.
Ejemplo
Considere la secuencia de tres n meros: n, n+1, n+2.
Entonces sus cuadrados ser n iguales a: n^2, (n+1)^2, (n+2)^2.
La suma de estos cuadrados se calcula de la siguiente manera:
| n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 |
| n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) |
| 3n^2 + 6n + 5 |
Como se puede ver en la expresi n, la suma consta de tres t rminos.
El primer t rmino de 3N^2 es divisible por 3.
El segundo t rmino 6N es divisible por 3.
El tercer t rmino 5 no es divisible por 3.
Entonces la suma de 3N^2 + 6N + 5 es divisible por 3.